1. Con respecto a |-18| se puede afirmar que
A) |-18| < 18
B) |-18| > 18
C) |-18| = 18
D) |-18| = (-18)
E) |-18| < -18
Resolución: El símbolo | | representa el valor absoluto. El valor absoluto es el valor positivo del resultado de la operación que se encuentre dentro del símbolo.
En este caso |-18| = 18.
2. Al sumar el producto entre -6 y -2 con el cociente entre -18 y 3,
resulta
A) -18
B) -14
C) -6
D) 6
E) 2
Resolución: En este caso hay que calcular por separado el producto entre -6 y -2 y el cociente entre -18 y 3, y sumar ambos resultados.
-6 · -2 = 12
-18 / 3 = -6
12 + (-6)= 12 – 6 = 6
3. Si el cociente entre 68 y -17 se resta del producto entre -8 y 7,
resulta
A) -60
B) -52
C) 3
D) 52
E) 60
Resolución: Al igual que en el ejercicio anterior, hay que calcular por separado el cociente y el producto, y posteriormente restar los resultados. Es importante fijarse en el orden en que está planteada la pregunta, dice que el resultado del cociente será el que se reste del resultado del producto.
68 / -17 = -4
-8 · 7 = -56
-56 – (-4) = -56 + 4 = -52
4. |3 – 5| – |4 · (-2)| – |12 : (-3)| =
A) -14
B) -10
C) 6
D) 10
E) 14
Resolución: Lo primero que se debe hacer frente a un ejercicio de este tipo es resolver las operaciones dentro del valores absolutos, sin quitarlos.
Luego se aplican sacan los números del valor absoluto, recordando que el número dentro del símbolo siempre quedará afuera como positivo, pero que los signos fuera del valor absoluto se mantienen intactos.
|-2| – |-8| – |-4| = 2 – 8 – 4 = -6 – 4 = -10
5. Una niña tiene 6 cajas vacías y quiere colocar una o más fichas en cada una de ellas, de tal forma que todas las cajas tengan un número distinto de fichas. ¿Cuál es el número mínimo de fichas que necesita?
A) 6
B) 15
C) 21
D) 27
E) 36
Resolución: Dado que me preguntan el número mínimo de fichas, parto asumiendo que la primera caja tendrá 1 ficha (que es el menor número posible), y para las demás se irá aumentando 1 más.
Por ende el total de fichas será: 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21
6. Si a y b son dos números enteros cuyas ubicaciones en la recta numérica están representados en la figura adjunta
entonces siempre se cumple que
A) a · b > 0
B) -a · b < 0
C) a + b > 0
D) a – b > 0
E) a · -b > 0
Resolución: Se puede ver en la figura que a corresponde a un número negativo y b corresponde a un número positivo. Con esta información se evalúan las respuestas:
A) La multiplicación entre un número positivo y uno negativo siempre resulta en un negativo, es decir, es menor a cero, por lo tanto esta alternativa no es correcta.
B) -a representa un número positivo, y la multiplicación entre dos
positivos es siempre mayor a cero, por lo tanto esta alternativa no es correcta.
C) Respecto a la suma de un número positivo y un número negativo,
necesitamos saber cuál es mayor para identificar si el resultado será mayor o
menor a cero, por lo tanto no es posible afirmar lo que esta alternativa dice
sin mayor información.
D) Si restamos un número positivo a un número negativo (en este orden),
el resultado será negativo, es decir, menor a cero, por lo tanto esta
alternativa no es correcta.
E) -b representa un número negativo, y la multiplicación entre dos números
negativos siempre resulta en un número positivo, es decir, mayor a cero, y por
lo tanto esta es la alternativa correcta.
7. Si al sucesor de -6 se le resta el antecesor impar de -3, se
obtiene
A) -10
B) -9
C) -2
D) -1
E) 0
Resolución: El sucesor de -6 es -5, y el antecesor impar de -3 es -5.
La resta entre ambos será -5 – (-5) =-5 + 5 = 0
8. Si r y s son dos números impares consecutivos tales que r < s, entonces r – s es
A) 2
B) 1
C) -1
D) -2
E) No se puede determinar
Resolución: Dado que s es más grande que r, si decimos que r = x, s debe ser igual a x más un número. Ahora como la pregunta dice que son impares consecutivos, sabemos que si r = x, y s es su impar consecutivo mayor, entonces s = x + 2.
r – s = x – (x + 2) = x – x – 2 = -2
9. Si n representa un número par y m un número impar, ¿cuál de las siguientes opciones corresponde a un número par?
A) n + m
B) n – m
C) m – n + 2
D) 10n + 3m
E) m – 1 + n
Resolución: Los números pares se representan como un número par por x, en este caso utilizaremos n = 2x, y los impares como un número par por x más (o menos) un impar, en este caso utilizaremos m = 2x + 1. Probemos estos números en las alternativas:
A) n + m = 2x + 2x + 1 = 4x + 1 --> número par por x más número impar à impar
B) n – m = 2x – (2x + 1) = 2x -2x -1 = -1 --> impar
C) m – n + 2 = (2x + 1) – (2x) + 2 = 2x + 1 – 2x + 2 = 3 --> impar
D) 10n + 3m = 10(2x) + 3(2x + 1) = 20x + 6x + 3 = 26x + 3 --> número par por x más número impar à impar
E) m – 1 + n = (2x + 1) – 1 + 2x = 2x + 1 – 1 + 2x = 4x --> número par por x --> par
10. 3 – 2 · (2 · 3 – 2 · 4) =
A) 7
B) 2
C) 1
D) -1
E) -2
Resolución: 3 – 2 · (6 – 8) = 3 – 2 · -2 = 3 + 4 =7
11. -6^2 : 3^2 – (-2) · (-5)^2 =
A) -54
B) -46
C) -22
D) 46
E) 54
Resolución: Es importante recordar que cuando se eleva un número dentro de un paréntesis, debe elevarse el número considerando el signo que tiene dentro de dicho paréntesis, pero al elevar un número sin paréntesis, se eleva sólo el número, sin el signo que lo antecede, es decir (-5)^2 = (-5) · (-5) = 25, pero -5^2 = - (5 ·5) = -25
Por lo tanto:
-6^2 : 3^2 – (-2) · (-5)^2 = - (6 · 6) : (3 · 3) – (-2) · (-5) · (-5) = - 36 : 9 – (-2) · 25 = -4 – (-50) = -4 + 50 = 46
12. -2 · {3 · |-4 – 1| – |-2|} =
A) -34
B) -26
C) -19
D) 26
E) 34
Resolución: -2 · {3 · |-5|-|-2|} = -2 · {3 · 5 – 2} = -2 · {15 – 2} = -2 · {13} = -26
13. Para que el número de cuatro cifras 6_22 sea divisible por 6, ¿cuál es el menor número que se debe colocar en el espacio en blanco?
A) 0
B) 1
C) 2
D) 3
E) 5
Resolución: Para que un número sea divisible por 6 debe ser divisible por 2 y por 3. Se sabe que el número 6_22 es divisible por 2, ya que termina en un número par (2). Para que sea divisible por 3 la suma de sus cifras debe ser un múltiplo de 3.
Sumando las cifras que se conocen se tiene 6 + 2 + 2 = 10, el múltiplo
de 3 más cercano al que se puede llegar agregando un número a la suma es 12, y
para lograr esa suma la cifra que falta es 12 – 10 = 2
14. La suma de tres impares consecutivos es siempre divisible por
I) 5
II) 3
III) 9
Es (son) verdadera(s)
A) solo I.
B) solo II.
C) solo III.
D) solo I y II.
E) solo II y III.
Resolución: Los números impares se representan como un número par por x más (o menos) un impar. En este caso tomemos el primer número como (2x + 1), y de esta forma, su impar consecutivo será (2x + 3), y el siguiente (2x + 5).
Por ende la suma de estos será:
(2x + 1) + (2x + 3) + (2x + 5) = 2x + 1 + 2x + 3 + 2x + 5 = 6x + 9
Dado que la pregunta pide un número por el cual sea siempre divisible, debe
ser un divisor tanto de 6 como de 9, y en este caso el único que cumple ese
requisito es 3.
15. La suma de tres pares consecutivos es siempre un múltiplo de
I) 3
II) 6
III) 12
A) Solo I
B) Solo II
C) Solo III
D) Solo I y II
E) I, II y III
Resolución: Los números pares se representan como un número par por x. En este caso el primer par será 2x, por ende su par consecutivo será (2x + 2) y el que sigue (2x + 4).
La suma será 2x + (2x + 2) + (2x + 4) = 2x + 2x + 2 + 2x + 4 = 6x + 6
Dado que la pregunta pide un número por el cual sea siempre divisible, debe
ser un divisor de ambos números, que en este caso son el mismo, 6. Los divisores
de 6 presentes en las alternativas son 6 y 3.
16. ¿Cuál(es) de los siguientes números se puede(n) expresar como la suma de 2 números primos consecutivos?
I) 20
II) 36
III) 52
A) Solo I
B) Solo II
C) Solo I y II
D) Solo II y III
E) I, II y III
Resolución: Un número primo es un número que solo es divisible por 1 y por sí mismo. Lo primero es listar los 10 primeros números primos:
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29
Luego sumamos los dos más grandes para ver si es necesario agregar más
números a la lista.
23 + 29 = 52
Con estos dos obtenemos el número más grande de las alternativas por
lo que no es necesario buscar primos mayores.
Luego seguimos sumando hacia atrás
19 + 23 = 42
17 + 19 = 36 --> Encontramos otro
13 + 17 = 30
11 + 13 = 24
7 + 11 = 18 --> Ya nos pasamos de la alternativa más baja
Por lo tanto, sumando dos primos consecutivos, es posible obtener 36 y
52, pero no 20.
17. Al descomponer el número 360 en sus factores primos se obtiene a^3 · b^2 · c. Entonces, a + b – c es igual a
A) 10
B) 6
C) 4
D) 0
E) -1
Resolución: Lo primero es descomponer 360 a sus factores primos para encontrar los valores de a, b y c.
360 |2
180 |2
90 |2
45 |3
15 |3
5 |5
1
Tenemos que la descomposición es 2^3 · 3^2 · 5. Dada la descomposición
inicial a^3 · b^2 · c, obtenemos que a = 2, b = 3 y c = 5 y por lo tanto:
a + b – c = 2 + 3 – 5 = 0
18. Si a es un número
compuesto impar menor que 10, entonces a –
1 es
I) primo.
II) compuesto.
III) cuadrado perfecto.
Es (son) verdadera(s)
A) solo I.
B) solo II.
C) solo III.
D) solo I y II.
E) solo II y III.
Resolución: Un número compuesto es un número no primo. Dado que es impar diremos que a = (2x + 1). Entonces a – 1 = (2x + 1) – 1 = 2x + 1 – 1 = 2x
Revisando las alternativas:
I) El número 2x es un número divisible por dos, por ende la única posibilidad
de que fuese primo sería que sea 2, lo cual implicaría que a = 3, pero dado que
3 es un número primo y a es un numero compuesto (es decir, no es primo), esta
alternativa no es posible.
II) Dado que en la alternativa anterior se estableció que a – 1 no
puede ser un número primo, eso lo hace un número compuesto (recordemos, compuesto
significa que no es primo)
III) 2x no representa un cuadrado perfecto (eso sería x^2)
19. Dos letreros luminosos se encienden con intermitencia de 24 y 36 minutos, respectivamente. Si a las 19 horas y 19 minutos se encuentran ambos encendidos, ¿a qué hora estarán nuevamente encendidos simultáneamente?
A) 20 horas y 31 minutos.
B) 20 horas y 19 minutos.
C) 20 horas y 21 minutos.
D) 19 horas y 49 minutos.
E) 19 horas y 31 minutos.
Resolución: Lo primero es encontrar el mínimo común múltiplo entre 24 y 36.
Dentro de los múltiplos de 24 tenemos: 24, 48, 72, 96…
Dentro de los múltiplos de 36 tenemos: 36, 72, 98…
El número más pequeño que tienen en común es 72, este es el mínimo común
múltiplo.
Esto indica que cada 72 minutos ambos letreros se encienden simultáneamente.
Por lo tanto, si ambos están encendidos a las 19 horas y 19 minutos, ambos se volverán
a encender 72 minutos más tarde, esto es 1 hora y 12 minutos más tarde, por
ende a las 20 horas y 31 minutos.
20. Si (m – 7) es el antecesor de -12, entonces el sucesor de m es
A) -6
B) -7
C) -5
D) -4
E) -3
Resolución: El antecesor de -12 es -13 --> (m – 7) = -13 --> m = -13 + 7 --> m = -6
El sucesor de m será el sucesor de -6, es decir, -5.
21. Si a > 0 y a > b, entonces ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) siempre verdadera(s)?
I) | a | > | b |
II) | a | – | b | < 0
III) b – a < 0
A) Solo I
B) Solo II
C) Solo III
D) Solo I y III
E) Ninguna de ellas
Resolución: Sabemos que a es positivo y mayor que b, por lo tanto b podría ser positivo o negativo. Revisemos las alternativas:
I) Dado que b podría ser negativo, su valor absoluto podría ser mayor
al de a, por ende esta alternativa no siempre será verdadera.
II) Si despejamos los términos, la inecuación plantea | a | < | b |,
y al igual que en la alternativa anterior, dado que b es negativo, no es
posible establecer si su valor absoluto será mayor o menor al de a.
III) Si despejamos los términos, la inecuación plantea b < a, y esa
información fue entregada en el enunciado del problema, por lo que esta
alternativa sí corresponde.
22. Si p es el menor número primo no par, q es el sucesor primo de p y r es el antecesor de q, entonces el resultado de 2r + 3p – q es
A) 12
B) 13
C) 17
D) 20
E) 25
Resolución: El menor número primo no par es 3, por lo tanto p = 3. Luego el sucesor primo de 3 es 5, por lo tanto q = 5, y el antecesor de 5 es 4, entonces r = 4.
Reemplazando 2r + 3p – q = 2(4) + 3(3) – (5) = 8 + 9 – 5 = 12
23. Si n es un número natural impar, entonces el sucesor impar del sucesor de n + 1 está representado por
A) 2n + 4
B) 2n + 2
C) n + 2
D) n + 3
E) n + 4
Resolución: En este tipo de ejercicios es bueno partir de atrás para adelante en el enunciado. Lo primero sería “el sucesor de n + 1”, que sería (n + 2). Luego “el sucesor impar” del resultado recién obtenido, es decir de (n + 2). Si n es impar, entonces (n + 2), que representaría un impar al que le sumo 2, también es un impar, y por lo tanto su sucesor impar será (n + 4).
24. Cinco personas P, Q, R, S y T juegan sacando cartón de una caja en la que aparece una operación, en la cual tienen que reemplazar la letra X por el número que les dictan (para todos el mismo). La persona que tiene el cartón con el menor resultado gana.
Si sacan los siguientes cartones:
¿Quién gana cuando dictan -3?
A) Q
B) P
C) R
D) S
E) T
Resolución:
P = x – 1 = (-3) – 1 = -4
Q = x + 1 = (-3) + 1 = -2
R = 1 – x = 1 – (-3) = 1 + 3 = 4
S = 1 – (-(-3)) = 1 – (3) = 1 – 3 = -2
T = -(-3) = 3
El menor resultado es P = -4
25. Si p es un número entero impar distinto de 1 y q es un número entero par consecutivo a p, entonces ¿cuál(es) de las siguientes aseveraciones es (son) siempre verdadera(s)?
I) p · q es múltiplo de 4.
II) (p – q)^2 es igual a 1.
III) -q^2 es un número entero
positivo.
A) Solo I
B) Solo II
C) Solo I y II
D) Solo II y III
E) I, II y III
Resolución: Los números impares se representan como un número par por x más (o menos) un impar. En este caso tomemos p = 2x + 1, entonces q = 2x + 2.
Revisemos las alternativas:
I) p · q = (2x + 1) · (2x + 2) = 4x^2 + 4x + 2x + 2 = 4x^2 + 6x + 2,
para que este número fuera múltiplo de 4, tanto 4 como 6 como 2 tendrían que
ser múltiplos de 4, por ende esta alternativa no corresponde.
II) (p – q)^2 = ((2x + 1) – (2x + 2))^2 = (2x + 1 – 2x – 2)^2 = (-1)^2
= 1. Por lo tanto esta alternativa es correcta.
III) En este caso no es necesario reemplazar ya que cualquier número
al cuadrados es positivo, por ende q^2 es positivo, y al tener el signo negativo
fuera, el resultado será negativo.
26. Se puede ordenar en forma creciente a, b y c, si se sabe
que:
(1) a + 1 = b
(2) el antecesor de c es b.
A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola
C) Ambas juntas, (1) y (2)
D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)
E) Se requiere información adicional
Resolución: En este tipo de preguntas lo más efectivo es tratar de resolverlas con la información por separado primero.
Tomando solo la información de (1): Sabemos que b el sucesor de a (es
decir a<b), pero no sabemos nada respecto a c
Tomando sólo la información de (2): Sabemos que c es el sucesor de b
(es decir b<c), per no sabemos nada respecto a b
Tomando ambas juntas: Sabemos que a < b < c, lo que representa el orden
creciente.
27. Sea r un número primo
comprendido entre 30 y 50. Se puede determinar el valor
exacto de r, si se sabe
que:
(1) la suma de sus dígitos es menor a 10.
(2) la suma de sus dígitos es un número primo.
A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola
C) Ambas juntas, (1) y (2)
D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)
E) Se requiere información adicional
Resolución: En este tipo de preguntas lo más efectivo es tratar de resolverlas con la información por separado primero.
Tomando solo la información de (1): Con esta información puedo acotar
las posibilidades a 31, 32, 33, 34, 35, 36, 40, 41, 42, 43, 44 y 45, pero no
puedo saber cuál es el valor exacto.
Tomando solo la información de (2): Con esta información puedo acotar
las sumas considerando que el número más bajo es 31 = 3 + 1 = 4, y el más alto
es 49 = 4 + 9 =13. Los números primos en este rango son 5, 7, 11 y 13, y los
números que cumplen con estas sumas (y por lo tanto los posibles valores de r)
son 32, 34, 38, 41, 43, 47, 49, pero tampoco es posible saber un valor exacto.
Tomando ambas juntas: Si cruzamos los números que cumplen ambas
opciones tenemos 32, 34, 41, y 43, pero sigue siendo imposible determinar cuál
de esos 4 corresponde a r.
28. Se puede determinar que (A + B) es múltiplo de 7, si se sabe que:
(1) A es múltiplo de 4 y B es múltiplo de 3.
(2) la diferencia entre A y B es múltiplo de 7.
A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola
C) Ambas juntas, (1) y (2)
D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)
E) Se requiere información adicional
Resolución: En este tipo de preguntas lo más efectivo es tratar de resolverlas con la información por separado primero.
Tomando solo la información de (1): Si A es múltiplo de 4, entonces A =
4x, y si B es múltiplo de 3, entonces B = 3y (no podemos usar la misma letra
para ambos ya que eso indicaría una relación entre ambos números, y tal
relación no ha sido mencionada). Entonces (A + B) = 4x + 3y, dado que ni 4 ni 3
son múltiplos de 7, no es posible saber con certeza si (A + B) múltiplo de 7.
Tomando solo la información de (2): Si (A – B) es múltiplo de 7,
entonces A – B = 7z. De esa información no es posible concluir nada respecto al
valor de (A + B), por lo tanto no es posible saber con certeza si es múltiplo
de 7.
Ambas juntas: Juntando ambas informaciones tenemos
(A + B) = 4x + 3y
(A – B) = 7z
Dado que hay más incógnitas que ecuaciones, es imposible saber con
certeza si (A + B) es múltiplo de 7.
29. Sea n un número
entero, se puede determinar que n –
1 es par, si se sabe que:
(1) 2n es un número par.
(2) n + 2 es impar.
A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola
C) Ambas juntas, (1) y (2)
D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)
E) Se requiere información adicional
Resolución: En este tipo de preguntas lo más efectivo es tratar de resolverlas con la información por separado primero.
Tomando solo la información de (1): La información de que 2n es un
número par no permite obtener información respecto a n – 1.
Tomando solo la información de (2): Si n + 2 es un número impar, eso
indica que n + 1 es par, n impar, y n – 1 es par, por lo tanto esta información
sí sirve por si sola.
En este tipo de preguntas, si alguna de las informaciones sirve por si
sola, se debe descartar la alternativa “ambas juntas”, pero de todas maneras se
deben evaluar las dos alternativas por separado, ya que la respuesta podría ser
“cada una por si sola”. En este caso, la alternativa dos por si sola es la
única que permite llegar a la conclusión solicitada.
30. Para los números enteros m, n y t, la expresión n/(m
+ t) representa siempre
un número entero, si se sabe que:
(1) (m + t) es un divisor de n.
(2) m y t son factores de n.
A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola
C) Ambas juntas, (1) y (2)
D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)
E) Se requiere información adicional
Resolución: En este tipo de preguntas lo más efectivo es tratar de resolverlas con la información por separado primero. En este caso para que la expresión n/(m + t) represente un número entero (considerando que en el enunciado se especifica que n es un número entero), es necesario que (m + t) sea un divisor de n.
Tomando solo la información de (1): Dado que me informan que (m + t)
es divisor de n, no es necesario hacer más cálculos y con esta información
sería suficiente.
Tomando solo la información de (2): La suma de dos factores de un número
no resulta necesariamente en otro factor de este. A modo de ejemplo, 2 y 3 son
factores de 6, pero la suma de ambos, 5, no es un factor de 6, por lo que esta
información no es suficiente por si sola.
En este tipo de preguntas, si alguna de las informaciones sirve por si
sola, se debe descartar la alternativa “ambas juntas”, pero de todas maneras se
deben evaluar las dos alternativas por separado, ya que la respuesta podría ser
“cada una por si sola”. En este caso, la alternativa uno por si sola es la
única que permite llegar a la conclusión solicitada.
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