Razones, proporciones y porcentajes

GUIA RAZONES, PROPORCIONES Y PORCENTAJES

1.  ¿Cuál(es) de los siguientes pares de razones forman una proporción?

 I)     15 : 36 y 20 : 12

II)    21 : 9 y 35 : 15

III)   16 : 12 y 20 : 15

A)     Solo I

B)     Solo II

C)     Solo I y III

D)    Solo II y III

E)     I, II y III

Resolución: Evaluemos cada alternativa por separado:

I) 15 : 36 puede ser simplificada por 3 (simplificar una razón implica dividir tanto el numerador como el denominador por el mismo número) , obteniéndose 5 : 12, mientras que 20 : 12 puede ser simplificada por 4, obteniéndose 5 : 3, dado que 5 : 12 y 5 : 3 no son equivalentes, se descarta esta alternativa.

II) 21 : 9 puede ser simplificada por 3, obteniéndose 7 : 3, mientras que 35 : 15 puede ser simplificada por 5, obteniéndose 7 : 3, dado que en ambos casos se obtiene la misma razón, esta alternativa sí cumple.

III) 16 : 12 puede ser simplificada por 4, obteniéndose 4 : 3, mientras que 20 : 15 puede ser simplificada por 5, obteniéndose 4 : 3, dado que en ambos casos se obtiene la misma razón, esta alternativa sí cumple.

 

2. Si A : B = 5 : 3 y A + B = 16, entonces, A · B es igual a

A)     15

B)     16

C)     24

D)    40

E)     60

Resolución: Si A : B = 5 : 3, entonces 3A = 5B y A = 5B/3. Reemplazando esto en la ecuación A + B = 16, se tiene 5B/3 + B = 16, es decir 5B/3 + 3B/3 = 16, 8B/3 = 16 y B=6. Por lo tanto A = 5B/3 = 5·6/3 = 10. Finalmente A · B = 10 · 6 = 60 

3. Las edades de tres hermanos: Francisca, Carmen y Lucía, son entre sí como 2 : 5 : 3, respectivamente. Si sus edades suman 30 años, entonces la edad de Lucía es

A)     15 años

B)     9 años

C)     6 años

D)     3 años

E)     1 año

Resolución: Dado que las edades están en proporción, podemos decir que 2x + 5x + 3x = 30, es decir, 10x = 30 y x =3. Entonces tenemos que la edad de Lucía es 3x = 3·3 = 9

4. ¿En cuál de las siguientes tablas, las variables P y Q son directamente proporcionales?

Resolución: Para que dos variables sean directamente proporcionales tiene que cumplirse que al dividir una sobre la otra en distintos puntos se mantenga un factor constante. Revisemos las alternativas:

A) 4/1 = 4; 5/2 = 2,5 à No se mantiene el factor, por ende no es directamente proporcional

B) 2/1 = 2; 4/2 = 2; 4/3 = 1,3 à No se mantiene el factor, por ende no es directamente proporcional

C) 3/1 = 3; 2/2 = 1 à No se mantiene el factor, por ende no es directamente proporcional

D) 3/1 = 3; 6/2 = 3; 9/3 = 3 à Se mantiene el factor, por ende esta alternativa es correcta

E) 6/1 = 6; 3/2 = 1,5 à No se mantiene el factor, por ende no es directamente proporcional

 

5. En el gráfico de la figura adjunta, x e y son variables directamente proporcionales,

entonces el valor de (2a – 1) es

A)  0,25

B)  0,50

C)  1,25

D)  1,50

E)  2,50

Resolución: Dado que son variables directamente proporcionales, se resuelve la relación como se muestra a continuación:

(a+1) : 7 = a : 3

3(a+1) = 7a

3a + 3 = 7a

3 = 4a

3/4 = a = 0,75

Con esto podemos resolver el valor de (2a – 1) = 2 · 0,75 -1 = 1,5 – 1 = 0,5

6. ¿Cuál(es) de las siguientes tablas corresponde(n) a dos variables inversamente proporcionales?

 

A)     Solo I

B)     Solo II

C)     Solo I y II

D)    Solo I y III

E)     Solo II y III

B)     Resolución: Para que dos variables sean inversamente proporcionales tiene que cumplirse que al multiplicarlas en distintos puntos se mantenga un factor constante. Revisemos las alternativas:

C)     I) 2 · 36 = 72; 3 ·24 = 72; 4 · 18 = 72; 6 · 12 = 72 à El factor es contante, por lo tanto son inversamente proporcionales

D)    II) 3 · 6 = 18; 4 · 8 =32 à El factor no es constante, por lo tanto esta alternativa no corresponde

E)     III) 40 · 1 = 40; 20 · 2 = 40; 10 · 4 = 40; 5 · 8 = 40 à El factor es contante, por lo tanto son inversamente proporcionales. 

7. Las variables x e y de la figura adjunta, son inversamente proporcionales, entonces  3m – 2n es igual  a

A)  10,5

B)  42,

C)  21,0

D)  17,5

E)  14,0

Resolución: Dado que son inversamente proporcionales, la multiplicación de sus valores en todos sus puntos debe ser constante. Viendo la figura se reconoce que cuando x vale 2, y vale 18, por ende el factor es 2 · 18 = 36, entonces 4m = 36, m = 9 y 12n = 36, n =3.

Entonces resolvemos 3m – 2n = 3 · 9 – 2 · 3 = 27 – 6 = 21 

8. La razón entre el contenido de un estanque y su capacidad es 2:3. Si para llenarlo faltan 15 litros, entonces ¿cuál es la capacidad del estanque?

A)     15 litros

B)     20 litros

C)     25 litros

D)    30 litros

E)     45 litros

Resolución: Si la razón entre el contenido y la capacidad es 2 : 3, entonces lo que falta para llenarlo es un tercio. Según el enunciado además esto corresponde a 15 litros. Por lo tanto despejamos:

(1/3) · x = 15, x = 45.

9. Si 15 obreros construyen un  edificio  en  8  meses ¿cuánto  tiempo  se demorarían 10 obreros en construir un edificio similar, trabajando el mismo número de horas al día y en igualdad de condiciones de trabajo?

 A)     5,3 meses

B)     6 meses

C)     9 meses

D)    10 meses

E)     12 meses

F)     Resolución: Dado que mientras más obreros trabajen menos tiempo se demorarán, ambas variables son inversamente proporcionales, y por lo tanto al multiplicarlas mantienen un factor constante. En este caso 15 · 8 = 120. Luego, para resolver con 10 obreros tengo que 10 · x = 120, x = 12.

10. En la figura adjunta, todos los sectores circulares son iguales. ¿Qué tanto por ciento es la parte achurada de la parte no achurada?

A) 12,5%                                            

B) 30%

C)  33,3%

D)  37,5%

E) 60%

Resolución: Dado que todos los sectores son iguales, tenemos que la parte achurada son 3 y la parte no achurada 5, por lo tanto se debe calcular 3/5, que corresponde a 0,6, es decir, 60%.

11. M es el 8% de

A)     8M/100

B)    100M/8

C)     (8 · 100)/M

D)    108/100 · M

E)     92/100 · M

Resolución: Se tiene la siguiente tabla:

M    | 8%

X     | 100%

Donde X representa el total del cual M es el 8%, entonces, despejando, X = M · 100 / 8 que corresponde a la alternativa B. 

12. El 15% del 5% de 20.000 es

A)   150

B)   400

C)   1.500

D)   4.000

E)   7.500

Resolución: En este tipo de preguntas lo mejor es empezar desde atrás hacia adelante, es decir, partir calculando el 5% de 20.000, que es 20.000 · 0,05 = 1.000, y luego el 15% de este resultado, que corresponde a 1.000 · 0,15 = 150.

13. Pedro gastó $ 144.000 lo que equivale al 25% de su sueldo mensual, entonces su sueldo mensual es

 A)   $ 602.000

B)   $ 570.000

C)  $ 555.000

D)  $ 569.000

E)   $ 576.000

Resolución: Se tiene la siguiente tabla:

144.000   | 25%

X             | 100%

Luego, despejando X = 144.000 · 100 / 25 = 576.000

14. Si en un curso el puntaje en Matemática aumentó de una jornada a otra de 480 puntos a 540 puntos, entonces el porcentaje de aumento fue

 A)   11,1 %

B)   12,5%

C)   60%

D)   88,8 %

E)  112,5%

Resolución: Primero se calcula el aumento: 540 - 480 = 60. Con esta información se construye la tabla

480 | 100%

60   | X

Luego, despejando X = 60 · 100 / 480 = 12,5. 

15. Tres amigos, Alberto, Bernardo y Carlos, tienen $ 80, $ 100 y $ 120 respectivamente. Al comprar estas cantidades afirman:

 Alberto: “Bernardo tiene 20% más de lo que yo tengo” Bernardo: “Carlos tiene 20% más de lo que yo tengo” Carlos: “Yo tengo 50% más de lo que tiene Alberto”

 ¿Quién(es) ha(n) hecho una afirmación matemática correcta?

A)     Solo Alberto

B)     Solo Bernardo

C)     Solo Carlos

D)    Alberto y Bernardo

E)     Bernardo y Carlos

Resolución: Revisemos las afirmaciones:

1. Alberto: “Bernardo tiene 20% más de lo que yo tengo”: Bernardo tiene $100 y Alberto tiene $80. Por lo tanto Bernardo tiene $20 más que Alberto. Luego llevamos esta información a la tabla de porcentajes:

80   | 100

20   | X

Despejamos X = 100 · 20 / 80 = 25. Por lo tanto Bernardo tiene 25% más de lo que tiene Alberto. Es importante en este ejercicio notar que el 100% son los $80 que tiene Alberto, ya que la expresión habla del 20% más de lo que él mismo tiene.

2. Bernardo: “Carlos tiene 20% más de lo que yo tengo”: Carlos tiene $120 y Bernardo $100, luego Carlos tiene $20 más que Bernardo. Llevamos esta información a la tabla:

100 | 100

20   | X

Despejamos X =20 · 100 / 100 = 20. Efectivamente Carlos tiene 20% más de lo que tiene Bernardo.

3. Carlos: “Yo tengo 50% más de lo que tiene Alberto”: Carlos tiene $120 y Alberto $80, por lo tanto Carlos tiene $40 más que Alberto. Llevamos esta información a la tabla:

80   | 100

40   | X

Despejamos X = 40 · 100 / 80 = 50. Efectivamente Carlos tiene 50% más de lo que tiene Alberto. Notar que lo que tiene Alberto es el 100% ya que en el enunciado indica que el porcentaje de aumento es sobre lo que tiene Alberto. 

16. El caudal de un río es P metros cúbicos por segundo, si al recibir un afluente su caudal aumenta en un 15%, ¿cuál es su nuevo caudal, en metros cúbicos por segundo?

A)     P + 15

B)     P + P/15

C)     15P/100

D)    P + 15P/100

E)     Ninguna de las expresiones anteriores

Resolución: Lo primero es calcular el 15% de P. Tenemos la siguiente tabla:

P     | 100

X     | 15

Despejamos X = 15P/100. Luego, dado que el caudal aumenta en un 15%, el nuevo caudal es el caudal anterior más el aumento, esto es P + 15P/100.

17. En una tienda se muestra una tabla incompleta como la adjunta. ¿Cuáles son los valores, en pesos, de M y N, respectivamente?

 

A)  6.400 y 9.000

B)  6.400 y 8.800

C)  7.600 y 9.000

D)  7.600 y 7.600

E)  6.400 y  8.640

Resolución: Para calcular M tenemos el precio original de 8.000 y sabemos que se le hace un descuento del 20%, por lo tanto el precio final corresponde al 80%. Tenemos la tabla:

8.000      | 100

M            | 80

Despejamos M = 8.000 · 80 / 100 = 6.400

Luego para calcular M sabemos que el precio final (es decir el 80% del precio inicial) es 7.200. Tenemos la tabla:

N            |100

7.200      | 80

Despejamos N = 7.200 · 100 / 80 = 9.000

 

18. Un bus tiene sus 30 asientos de capacidad ocupados, cada uno por una persona y además, lleva 10 personas de pie. Si en un paradero se baja el 20% de las personas que van sentadas y el 30% de las personas que van de pie y suben, en ese paradero, 2 personas, ¿cuántas personas quedarían de pie, si se ocupan todos los asientos con una persona?

A)     3

B)     1

C)     7

D)    9

E)     Ninguna, irían todas sentadas.

Resolución: Lo primero es  calcular las personas que bajaron, estas corresponden al 20% de 30, lo cual se calcula como 30 · 0,2 = 6, y al 30% de 10, lo cuál se calcula como 10 · 0,3 = 3, por lo tanto en total bajan 9 personas, quedando 24 sentadas y 7 de pie. Luego 6 de esas 7 se sientan, quedando 30 sentadas y 1 de pie. Finalmente suben 2 personas por lo que quedan 3 personas de pie. 

19. La nota final en la asignatura de física se obtiene de la suma del 75% del promedio de las notas de las pruebas parciales con el 25% de la nota del examen. Si Daniela obtuvo un 2,0 en el examen y su promedio de las notas de las pruebas parciales es 5,0, ¿cuál de las siguientes expresiones permite calcular cuál fue la nota final de Daniela en física?

 A)  0,25 · 2,0 + 0,75 · 5,0

B)  0,75 · 2,0 + 0,25 · 5,0

C)  1,25 · 2,0 + 1,75 · 5,0

D)  1,25 · 5,0 + 1,75 · 2,0

E) 25 · 2,0 + 75 · 5,0

Resolución: La nota del examen equivale al 25%, por lo tanto la primera parte de la expresión es 0,25 · 2,0. Luego el promedio de las notas parciales corresponde al 75%, por lo que la segunda parte de la expresión es 0,75 · 5,0. Finalmente la expresión completa será 0,25 · 2,0 + 0,75 · 5,0.

20. Eduardo le vendió a su amigo Sebastián un libro de Sudoku en $ 5.600 con un 25% de ganancia. Entonces, Eduardo ganó

A)   $ 1.020

B)   $ 1.120

C)  $ 1.400

D)  $ 4.200

E)   $ 4.480

Resolución: Dado que los $5.600 ya incluyen el 25% de ganancia, estos corresponden a un 125%. Luego tenemos la siguiente tabla:

5.600      | 125

X            | 25

Despejamos X = 5.600 · 25 / 125 = 1.120

 

21. En un corral hay pavos blancos y pavos castellanos. Si 3/8 son blancos, ¿qué porcentaje son los pavos blancos de los pavos castellanos?

 A) 37,5%

B)  40%

C)  60%

D)  62,5%

E)  67,5%

Resolución: Si 3/8 son blancos, 5/8 son castellanos. Tenemos la siguiente tabla:

5/8  | 100

3/8  | X

Despejamos X = 100 · (3/8) / (5/8) = (100 · 3 · 8) / (8 · 5) = 60

 

22. El precio de un artículo es $C. Si este se aumenta en un 15% y luego se rebaja en un 10%, ¿por qué número se debe multiplicar C para obtener el nuevo precio?

 A)  1,005

B)  1,035

C)  1,35

D)  1,09

E)  1,05

Resolución: Primero calculamos el 115% de C (esto representa el precio original más un aumento del 15%). Tenemos la tabla:

C    | 100

X     | 115

X = C · 115/100 = C · 1,15

Luego calculamos la rebaja del 10% sobre este precio, es decir, el 90% de este precio.

C · 1,15   | 100

X            | 90

Despejamos X = C · 1,15 · 90 /100 = C · 1,035

23. Juan deposita en un Banco $ 10.000.000 a un interés simple trimestral del 4%. Al cabo de 9 meses, ¿cuánto es el capital final?

 A)  $ 10.400.000

B)   $ 11.180.000

C)  $ 11.200.000

D)  $ 12.700.000

E)   $ 13.600.000

Resolución: Al ser interés simple significa que los intereses siempre se calculan sobre el mismo monto, en este caso $10.000.000. Por lo que cada tres meses el monto de intereses ascenderá a 10.000.000 · 0,04 = 400.000. Luego, dado que pasan nueve meses, hay tres periodos de recolección de intereses, y lo intereses totales serán 400.000 · 3 = 1.200.000. Finalmente el capital final será el capital inicial más los intereses recolectados 10.000.000 + 1.200.000 = 11.200.000. 

24. Marcos realiza un depósito de $ 500.000 en un banco a un interés simple mensual de 0,5%. ¿Qué ganancia obtendrá en un período de 3 años?

 A) $ 7.500

B)   $ 87.500

C)  $ 90.000

D)  $ 507.500

E)   $ 590.000

Resolución: Calculamos el interés mensual: 500.000 · 0,005 = 2.500. Luego en 3 años hay 36 meses y por lo tanto el total de ganancias acumuladas será 2.500 · 36 = 90.000

25. ¿Qué capital debe invertirse en un negocio que rinde un interés simple anual de un 10%, para obtener $ 400.000 de utilidad en 2 años?

A)   $ 8.400.000

B)   $ 8.000.000

C)  $ 4.000.000

D)  $ 2.400.000

E)   $ 2.000.000

Resolución: Dado que los $400.000 son la utilidad de dos años, la utilidad de un año es $200.000. Luego sabemos que esta utilidad anual corresponde al 10% y tenemos la siguiente tabla:

200.000   | 10

X             | 100

Despejamos X = 200.000 · 100 / 10 = 2.000.000

 

26. ¿Cuál es la ganancia, en U.F., que se obtiene al cabo de 2 meses al depositar 2.000 U.F. a un interés compuesto mensual del 5%?

 A)  250

B)  205

C) 200,5

D)  200

E)  195

Resolución: La fórmula del interés compuesto es ci · (1 + t/100)^n = cf, donde ci es el capital inicial, t es la tasa, n es el número de períodos y cf es el capital final. Por lo tanto en este caso tenemos 2.000 · (1 + 5/100)^2 = 2.000 · 1,05^2 = 2.000 · 1,1025 = 2.205. Luego la ganancia es la diferencia entre el 2.205 y 2.000, que corresponde a 205.

27. Se puede determinar el 60% de p, si se sabe que:

(1)   el 45% de p es 27.

(2)   el 300% de p es igual al 30% de q.

A)    (1) por sí sola

B)     (2) por sí sola

C)     Ambas juntas, (1) y (2)

D)    Cada una por sí sola, (1) ó (2)

E)     Se requiere información adicional

Resolución: En este tipo de preguntas lo más efectivo es tratar de resolverlas con la información por separado primero.

Tomando solo la información de (1): Si sabemos que el 45% de p es 27 tenemos la siguiente tabla:

27   | 45

X     | 60

Despejando X = 60 · 27 / 45 = 36, por lo tanto con esta información por si sola sí es posible calcular el 60% de p.

Tomando solo la información de (2): La información nos dice que 3p = 0,3q, y al ser esta una ecuación con dos incógnitas no se puede resolver sin más información.

En este tipo de preguntas, si alguna de las informaciones sirve por si sola, se debe descartar la alternativa “ambas juntas”, pero de todas maneras se deben evaluar las dos alternativas por separado, ya que la respuesta podría ser “cada una por si sola”. En este caso, la alternativa uno por si sola es la única que permite llegar a la conclusión solicitada.

 

28.        Se puede determinar el monto de una deuda, si:

(1)   la cuota mínima a pagar es el 5% de la deuda.

(2)   la cuota mínima a pagar es de $ 12.000.

A)     (1) por sí sola

B)     (2) por sí sola

C)    Ambas juntas, (1) y (2)

D)    Cada una por sí sola, (1) ó (2)

E)     Se requiere información adicional

Resolución: En este tipo de preguntas lo más efectivo es tratar de resolverlas con la información por separado primero.

Tomando solo la información de (1): Me dicen que la cuota mínima es el 5% de la deuda pero no me dicen a qué monto corresponde, por lo tanto no hay suficiente información.

Tomando sólo la información de (2): Me dicen el monto de la cuota mínima pero no me indican qué porcentaje de la deuda representa este monto, por lo tanto no hay suficiente información.

Tomando ambas juntas: Tenemos tanto el monto de la cuota mínima como el porcentaje que representa, por lo que es posible construir la tabla y calcular el 100%, y por ende esta alternativa es la que corresponde.

29. En un mall hay 2.500 empleados entre hombres y mujeres. Se puede determinar el número de hombres que trabajan en él, si se sabe que:

(1)   el 80% de los empleados son mujeres.

(2)   el número de hombres equivale al 25% del número de mujeres.

A)     (1) por sí sola

B)     (2) por sí sola

C)     Ambas juntas, (1) y (2)

D)    Cada una por sí sola, (1) ó (2)

E)     Se requiere información adicional

Resolución: Resolución: En este tipo de preguntas lo más efectivo es tratar de resolverlas con la información por separado primero.

Tomando solo la información de (1): Si el 80% de los empleados son mujeres entonces el 20% son hombres y se puede calcular a cuantos corresponde multiplicando 2.500 · 0,2 = 500

Tomando solo la información de (2): Si el número de hombres equivale al 25% del número de mujeres tenemos que M + M · 0,25 = 2.500, entonces 1,25M = 2.500 y M = 2.000, y por lo tanto si las mujeres son 2.000 los hombres son 500.

En este tipo de preguntas, si alguna de las informaciones sirve por si sola, se debe descartar la alternativa “ambas juntas”, pero de todas maneras se deben evaluar las dos alternativas por separado, ya que la respuesta podría ser “cada una por si sola”. En este caso, cada alternativa por separado lleva al resultado así que la respuesta es “cada una por si sola”.

30. Se deposita en una entidad bancaria un capital inicial de $ 10.000, con un interés compuesto mensual y no se realizan depósitos ni retiros posteriores. Se puede determinar la tasa de interés compuesto mensual, si se conoce:

(1)   el capital final.

(2)   el tiempo que estuvo depositado el capital inicial.

A)     (1) por sí sola

B)     (2) por sí sola

C)    Ambas juntas, (1) y (2)

D)    Cada una por sí sola, (1) ó (2)

E)     Se requiere información adicional

Resolución: En este tipo de preguntas lo más efectivo es tratar de resolverlas con la información por separado primero. Sabemos que la fórmula del interés compuesto es ci · (1 + t/100)^n = cf, donde ci es el capital inicial, t es la tasa, n es el número de períodos y cf es el capital final.

Tomando solo la información de (1): Tenemos el capital inicial y el capital final, pero aún son incógnitas t y n, y dado que tenemos una ecuación y dos incógnitas no es posible despejarlas.

Tomando sólo la información de (2): Tenemos el capital inicial y el número de períodos, pero aún son incógnitas t y cf, y dado que tenemos una ecuación y dos incógnitas no es posible despejarlas.

Tomando ambas juntas: Tenemos tanto ci como cf y n, la única incógnita es t, y sería posible despejarla, por lo que esta alternativa es la correcta.